Formule voor het berekenen van het volume van een omwentelingslichaam en illustratieve voorbeelden

Wat is een roterend blok? Hoe bereken je het volume van een omwentelingslichaam?

Een omwentelingslichaam is een vorm die ontstaat door het draaien van een vlak om een ​​vaste as, bijvoorbeeld een omwentelingskegel, een omwentelingscilinder, een omwentelingsbol, enz. Hieronder vindt u de formule voor het berekenen van het volume van een omwentelingslichaam. Raadpleeg deze formule voor het gebruik.

Inhoudsopgave

• Bereken het volume van een cirkelvormig blok gedraaid rond de Os-as
• Bereken het volume van een cirkelvormig blok gedraaid om de Oy-as
• Voorbeeld van het berekenen van het volume van een omwentelingslichaam

Bereken het volume van een cirkelvormig blok gedraaid rond de Os-as

Als het ronde blok rond de Os-as draait, kunnen de volgende formules worden toegepast om het volume van het roterende ronde blok te berekenen:

Geval 1 : Roterend cirkelvormig blok gemaakt door:

• Lijn y = f(x)
• x-as y=0
• x=a; x=b

De formule voor het berekenen van het volume is dan:

Geval 2 : Het roterende blok wordt gemaakt door:

• Lijn y = f(x)
• Lijn y = g(x)
• x=a; x=b

De formule voor het berekenen van het volume van een omwentelingslichaam is dan:

met

Bereken het volume van een cirkelvormig blok gedraaid om de Oy-as

Als het cirkelvormige blok rond de Oy-as draait, kunnen de volgende formules worden toegepast om het volume van het roterende cirkelvormige blok te berekenen:

Geval 1 : Het roterende blok wordt gemaakt door:

• Lijn x=g(y)
• Verticale as (x=0)
• y=c; j=d

De formule voor het berekenen van het volume van een omwentelingslichaam is dan:

Geval 2 : Het roterende blok wordt gemaakt door

• Lijn x=f(y)
• De vergelijking x=g(y)
• y=c; j=d

Het volume van het omwentelingslichaam is dan:

met

Samenvattende tabel met formules voor het berekenen van het volume van een omwentelingslichaam:

1. Vx gegenereerd door gebied S dat rond Ox roteert:

Recept :

2. Vx gegenereerd door gebied S dat rond Ox roteert:

Recept :

Voorbeeld van het berekenen van het volume van een omwentelingslichaam

Voorbeeld 1: 

Bereken het volume van het omwentelingslichaam dat wordt verkregen door het draaien van de vlakke figuur, begrensd door de kromme y = sinx, de x-as en twee rechte lijnen x = 0, x = π (tekening) rond de 0-as.

Oplossing

Als we de formule in de bovenstaande stelling toepassen, hebben we

Voorbeeld 2: 

Bereken het volume van het omwentelingslichaam dat wordt verkregen door het vlakke figuur, begrensd door de kromme en de x-as, om de x-as te draaien.

Prijs:

Wij zien:

Voor alle x is dit dus de vergelijking van een halve cirkel met middelpunt O en straal R = A, die boven de Ox-as ligt. Bij rotatie om de os-as zal de platte vorm een ​​bol vormen met middelpunt O en straal R = A (figuur). Dus we hebben altijd

 

Bij dit soort problemen hoeven we de integratieformule niet op te schrijven, maar kunnen we op basis van de formule voor het berekenen van het volume van een bol een conclusie trekken.

Voorbeeld 3: 

Bereken het volume van het object dat tussen twee vlakken x = 0 en x = 1 ligt, wetende dat de doorsnede van het object, gesneden door vlak (P) loodrecht op de Os-as in het punt met abscis x(0≤x≤1), een rechthoek is met twee zijdes van lengte x en ln(x2+1).

Prijs: 

Omdat de doorsnede rechthoekig is, bedraagt ​​de doorsnede:

We hebben het volume om te berekenen als

Voorbeeld 4: Gegeven een vlakke figuur begrensd door lijnen y = 3x; y = x; x = 0; x = 1 draait om de Os-as. Bereken het volume van het resulterende omwentelingslichaam.

Prijs:

De coördinaten van het snijpunt van lijn x = 1 met y = x en y = 3x zijn de punten C(1;1) en B(3;1). De coördinaten van het snijpunt van lijn y = 3x met y = x zijn O(0;0).

Het te berekenen volume van het roterende vaste lichaam is dus:

Voorbeeld 5 : Gegeven een vlakke figuur begrensd door lijnen y = 2x2; y2 = 4x draait rond de Os-as. Bereken het volume van het resulterende omwentelingslichaam.

Prijs:

Met gelijkwaardige tijd. De coördinaten van het snijpunt van de lijn met zijn de punten O(0;0) en A(1;2).

Het te berekenen volume van het roterende vaste lichaam is dus:

Voor vraagstukken waarbij het volume van een omwentelingslichaam moet worden berekend, hoeft u alleen maar de juiste formule voor elk geval te gebruiken en goed op te letten bij het bepalen van de limiet om deze te kunnen oplossen. Succes!