Wat is de formule voor het berekenen van combinaties en permutaties? In dit artikel leggen we uit hoe u combinaties en andere gerelateerde formules kunt berekenen .
Permutaties en combinaties zijn de meest fundamentele concepten in de wiskunde die betrekking hebben op het selecteren van items uit een groep of set.
Inhoudsopgave
Gegeven een verzameling A met n elementen en gegeven een geheel getal k, (1 ≤ k ≤ n). Elke deelverzameling van A met k elementen wordt een k-voudige combinatie van n elementen van A genoemd.
K-combinatieformule van n
Formule voor de eigenschappen van een combinatie:
Voorbeelden van combinatoriek
Voorbeeld 1:
Een groep van 12 studenten. Hoeveel manieren zijn er:
a) Kies 2 vertegenwoordigers voor de groep
b) Kies 2 personen en wijs de posities van teamleider en plaatsvervangend teamleider toe.
c) Verdeel de groep in 2 groepen, waarbij de groepsleider en de plaatsvervangende groepsleider in verschillende groepen zitten.
Oplossing
a) Kies 2 vrienden uit 12 vrienden die combinaties zijn van 2 van 12: C122 = 66 manieren.
b) Kies 2 personen en wijs hen de positie toe van de combinatie van 2 van de 12: A122 = 132 manieren.
c) Verdeel de groep in 2 groepen. Elke groep bestaat uit 6 leden.
Waarbij de teamleider en de plaatsvervangende teamleider in aparte groepen zitten.
Kies uit de overige 10 vrienden 5 vrienden die in dezelfde groep zitten als de teamleider: C105 = 252 manieren.
Kies uit de overige 5 personen 5 personen die in dezelfde groep als de plaatsvervangende leider moeten zitten: C55 = 1-weg.
Er zijn dus 252,1 = 252 manieren.
Gegeven een verzameling A met n elementen en gegeven een geheel getal k, (1 ≤ k ≤ n). Wanneer we k elementen van A nemen en deze in een bepaalde volgorde plaatsen, krijgen we een k-voudige verstoring van n elementen van A (een n-voudige verstoring van k van A genoemd).
Het aantal k-permutaties van een verzameling met n elementen is:
Permutatieformule:
Bijvoorbeeld:
Van de cijfers 0 tot en met 9. Op hoeveel manieren kun je een natuurlijk getal vormen zodat:
a) Nummer met 6 verschillende cijfers
b) Een getal met 6 verschillende cijfers en deelbaar door 10
c) Oneven getallen hebben 6 verschillende cijfers.
Oplossing
a) Maak een getal met 6 verschillende cijfers
Kies het eerste cijfer van de nummers 1 tot en met 9: er zijn 9 manieren om te kiezen
De resterende cijfers zijn de 5e permutatie van de resterende 9 getallen (behalve het eerste cijfer) met A95
Er zijn dus 9A95 = 136080 getallen.
b) Een getal met 6 verschillende cijfers en deelbaar door 10
Kies het eenheidscijfer: er is 1 manier om het cijfer 0 te kiezen
Kies de resterende cijfers als de 5e permutatie van de resterende 9 getallen (behalve het cijfer 0) met A95
Er zijn dus A95 = 15120 getallen.
c) Laat het getal 
een oneven getal zijn met 6 verschillende cijfers, bestaande uit de cijfers 0 tot en met 9.
Omdat het oneven is, f ∈{1; 3; 5; 7; 9}
Kies f: er zijn 5 manieren om te kiezen
Selecteer een van de cijfers {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}\{f}: er zijn 8 manieren om te kiezen
Kies b, c, d, e als het 4-complex van de resterende 8 cijfers (anders dan f en a): we hebben A84
Er zijn dus 5.8A84 = 67.200 getallen.
a) Definitie:
- Gegeven een verzameling A van n elementen (n ≥ 1).
Elk resultaat van een ordening van n elementen van een verzameling A wordt een permutatie van n elementen genoemd.
- Let op: De twee permutaties van n elementen verschillen alleen in de volgorde waarin ze zijn gerangschikt.
b) Aantal permutaties:
- Het symbool Pn is het aantal permutaties van n elementen.
Permutatieformule:
Pn = n(n – 1)…2,1 = n!
Conventie: 0! = 1; 1! = 1.
Bijvoorbeeld: Zet 10 personen, waarvan 5 jongens en 5 meisjes, op een bankje. Op hoeveel manieren kun je het volgende regelen:
a) Sorteer alles
b) De jongens zitten naast elkaar
c) Jongens en meisjes zitten afwisselend.
Oplossing
a) Het aantal manieren om 10 mensen op een bank te plaatsen is een permutatie van 10: 10!
b) Laat de jongens naast elkaar zitten. We stoppen 5 jongens in een "bundel": er zijn er 5! hoe je de inhoud van de bundel kunt ordenen
Zet vervolgens 5 meisjes in een "groepje" op een bankje, met: 6! hoe te regelen
Er zijn er dus 5! . 6! = 86.400 manieren om de jongens naast elkaar te laten zitten.
c) Stel dat 10 personen op banken zitten, genummerd van 1 tot en met 10.
Om af te wisselen tussen jongens en meisjes
+ Geval 1: Jongens zitten in oneven posities, meisjes zitten in even posities
Aantal manieren om de jongens te rangschikken: 5!
Aantal manieren om de meisjes te rangschikken: 5!
Er zijn er dus 5! . 5! hoe te regelen
+ Geval 2: Jongens zitten in even posities, meisjes zitten in oneven posities
Net als in het bovenstaande geval hebben we 5! . 5! hoe te regelen
Dat zijn er dus 2,5! . 5! = 28.800 manieren om te ordenen.
Verschil tussen permutatie en combinatie
Het verschil tussen permutatie en combinatie kunt u zien aan de hand van de volgende tabel:
|
Permutatie |
Combinatie |
|
Bij permutaties is de volgorde van rangschikking erg belangrijk. AB en BA zijn bijvoorbeeld verschillende combinaties. |
In combinatie maakt de volgorde van opstelling niet uit. AB en BA zijn bijvoorbeeld vergelijkbare combinaties. |
|
Een permutatie wordt gebruikt wanneer het nodig is om verschillende soorten materie te sorteren of classificeren. |
Combinaties worden gebruikt als u dezelfde soort zaken wilt regelen. |
|
Permutatie van twee dingen uit drie gegeven dingen a, b, c zijn ab, ba, bc, cb, ac, ca. |
Een combinatie is een combinatie van twee dingen uit drie gegeven dingen. a, b, c zijn ab, bc, ca. |
Bezoek de sectie Onderwijs en Leren op Quantrimang.com voor meer informatie over andere wiskundige formules.
Een oude wasmachine in ’s-Hertogenbosch? Lees waar u hem kunt inleveren, wanneer de winkel hem moet meenemen en hoe u het apparaat veilig voorbereidt.
Lever uw oude smartphone in bij een inzamelbak voor kleine elektrische apparaten, een elektronicawinkel of het Recycleplein in Alkmaar. Wis eerst uw gegevens en controleer welke route bij uw toestel past.
Frituurvet weggooien in Dordrecht? Vergelijk het afvalbrengstation en lokale inzamelpunten, lees wat u kunt inleveren en hoe u olie veilig verpakt.
Ontdek waar u een bankstel in Amsterdam kunt wegbrengen of laten ophalen. Bekijk de Recyclepunten, regels per buurt en de juiste ophaaldag.
Een oude laptop wegdoen in Ede? Lees waar u hem kunt inleveren, hoe Het Waardepunt werkt, wat winkels moeten aannemen en hoe u uw gegevens veilig wist.
Bekijk welke opvanggegevens, inkomensschatting en persoonsgegevens u nodig hebt voor kinderopvangtoeslag. Met checklist, voorbeeld en aanvraagtermijn.
Een bankstel weggooien in Alkmaar? Lees wanneer u de kringloopbalie kiest, hoe u een versleten bank naar het Recycleplein brengt en wat geldt bij ophalen door HVC.
Voor huurtoeslag geldt in 2026 een vermogensgrens van € 38.479 per persoon. Lees hoe partner, medebewoners, kinderen en de peildatum meetellen.
Een oude of kapotte televisie weggooien in Leiden? Lees wanneer u Het Warenhuis kiest, hoe gratis ophalen werkt en waarom de Milieustraat en grofvuilophaal geen optie zijn.
Een oude airco afvoeren in Ede? Lees waar u een mobiele of split-airco kunt inleveren, wanneer een installateur nodig is en hoe u controleert of de afvoer goed is geregeld.
