Formules voor combinaties, permutaties en permutaties

Wat is de formule voor het berekenen van combinaties en permutaties? In dit artikel leggen we uit hoe u combinaties en andere gerelateerde formules kunt berekenen .

Permutaties en combinaties zijn de meest fundamentele concepten in de wiskunde die betrekking hebben op het selecteren van items uit een groep of set.

• Permutatie is het rangschikken van items in de volgorde waarin ze uit een bepaalde groep zijn geselecteerd.
• Combinatie is het selecteren van items zonder rekening te houden met de volgorde.

Inhoudsopgave

• Combinatorische formule
• Permutatieformule
• Permutatie 

Combinatorische formule

Gegeven een verzameling A met n elementen en gegeven een geheel getal k, (1 ≤ k ≤ n). Elke deelverzameling van A met k elementen wordt een k-voudige combinatie van n elementen van A genoemd.

K-combinatieformule van n

Formule voor de eigenschappen van een combinatie:

Voorbeelden van combinatoriek

Voorbeeld 1: 

Een groep van 12 studenten. Hoeveel manieren zijn er:

a) Kies 2 vertegenwoordigers voor de groep

b) Kies 2 personen en wijs de posities van teamleider en plaatsvervangend teamleider toe.

c) Verdeel de groep in 2 groepen, waarbij de groepsleider en de plaatsvervangende groepsleider in verschillende groepen zitten.

Oplossing

a) Kies 2 vrienden uit 12 vrienden die combinaties zijn van 2 van 12: C122 = 66 manieren.

b) Kies 2 personen en wijs hen de positie toe van de combinatie van 2 van de 12: A122 = 132 manieren.

c) Verdeel de groep in 2 groepen. Elke groep bestaat uit 6 leden.

Waarbij de teamleider en de plaatsvervangende teamleider in aparte groepen zitten.

Kies uit de overige 10 vrienden 5 vrienden die in dezelfde groep zitten als de teamleider: C105 = 252 manieren.

Kies uit de overige 5 personen 5 personen die in dezelfde groep als de plaatsvervangende leider moeten zitten: C55 = 1-weg.

Er zijn dus 252,1 = 252 manieren.

Permutatieformule

Gegeven een verzameling A met n elementen en gegeven een geheel getal k, (1 ≤ k ≤ n). Wanneer we k elementen van A nemen en deze in een bepaalde volgorde plaatsen, krijgen we een k-voudige verstoring van n elementen van A (een n-voudige verstoring van k van A genoemd).

Het aantal k-permutaties van een verzameling met n elementen is:

Permutatieformule:

• Enkele conventies: 0! = 1, An0 = 1, Ann = n!
• Kenmerken: Dit is een geordende sortering en het aantal te sorteren elementen is k: 0 ≤ k ≤ n.

Bijvoorbeeld: 

Van de cijfers 0 tot en met 9. Op hoeveel manieren kun je een natuurlijk getal vormen zodat:

a) Nummer met 6 verschillende cijfers

b) Een getal met 6 verschillende cijfers en deelbaar door 10

c) Oneven getallen hebben 6 verschillende cijfers.

Oplossing

a) Maak een getal met 6 verschillende cijfers

Kies het eerste cijfer van de nummers 1 tot en met 9: er zijn 9 manieren om te kiezen

De resterende cijfers zijn de 5e permutatie van de resterende 9 getallen (behalve het eerste cijfer) met A95

Er zijn dus 9A95 = 136080 getallen.

b) Een getal met 6 verschillende cijfers en deelbaar door 10

Kies het eenheidscijfer: er is 1 manier om het cijfer 0 te kiezen

Kies de resterende cijfers als de 5e permutatie van de resterende 9 getallen (behalve het cijfer 0) met A95

Er zijn dus A95 = 15120 getallen.

c) Laat het getal een oneven getal zijn met 6 verschillende cijfers, bestaande uit de cijfers 0 tot en met 9.

Omdat het oneven is, f ∈{1; 3; 5; 7; 9}

Kies f: er zijn 5 manieren om te kiezen

Selecteer een van de cijfers {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}\{f}: er zijn 8 manieren om te kiezen

Kies b, c, d, e als het 4-complex van de resterende 8 cijfers (anders dan f en a): we hebben A84

Er zijn dus 5.8A84 = 67.200 getallen.

Permutatie

a) Definitie:

- Gegeven een verzameling A van n elementen (n ≥ 1).

Elk resultaat van een ordening van n elementen van een verzameling A wordt een permutatie van n elementen genoemd.

- Let op: De twee permutaties van n elementen verschillen alleen in de volgorde waarin ze zijn gerangschikt.

b) Aantal permutaties:

- Het symbool Pn is het aantal permutaties van n elementen.

Permutatieformule:

Pn = n(n – 1)…2,1 = n!

Conventie: 0! = 1; 1! = 1.

Bijvoorbeeld:  Zet 10 personen, waarvan 5 jongens en 5 meisjes, op een bankje. Op hoeveel manieren kun je het volgende regelen:

a) Sorteer alles

b) De jongens zitten naast elkaar

c) Jongens en meisjes zitten afwisselend.

Oplossing

a) Het aantal manieren om 10 mensen op een bank te plaatsen is een permutatie van 10: 10!

b) Laat de jongens naast elkaar zitten. We stoppen 5 jongens in een "bundel": er zijn er 5! hoe je de inhoud van de bundel kunt ordenen

Zet vervolgens 5 meisjes in een "groepje" op een bankje, met: 6! hoe te regelen

Er zijn er dus 5! . 6! = 86.400 manieren om de jongens naast elkaar te laten zitten.

c) Stel dat 10 personen op banken zitten, genummerd van 1 tot en met 10.

Om af te wisselen tussen jongens en meisjes

+ Geval 1: Jongens zitten in oneven posities, meisjes zitten in even posities

Aantal manieren om de jongens te rangschikken: 5!

Aantal manieren om de meisjes te rangschikken: 5!

Er zijn er dus 5! . 5! hoe te regelen

+ Geval 2: Jongens zitten in even posities, meisjes zitten in oneven posities

Net als in het bovenstaande geval hebben we 5! . 5! hoe te regelen

Dat zijn er dus 2,5! . 5! = 28.800 manieren om te ordenen.

Verschil tussen permutatie en combinatie

Het verschil tussen permutatie en combinatie kunt u zien aan de hand van de volgende tabel:

Bezoek de sectie Onderwijs en Leren op Quantrimang.com voor meer informatie over andere wiskundige formules.