Hoe een kwadratische vergelijking op te lossen

Kwadratische vergelijkingen oplossen

• A. Wat is een kwadratische vergelijking?
• B. Los kwadratische vergelijkingen op
• C. Kwikvergelijkingen mentaal oplossen
• D. De Viet-et-formule gebruiken
  • Stelling van Vieta
  • De omgekeerde stelling van Viet-et
• E. Voorbeeld van het oplossen van een kwadratische vergelijking
• F. Factorisatie
• G. Oplossen van kwadratische vergelijkingen met parameters

A. Wat is een kwadratische vergelijking?

Een kwadratische vergelijking is een vergelijking van de vorm (a≠0) (1).

Omdat x de onbekende variabele is en er slechts één onbekende is, wordt dit ook wel een 'enkele variabele'-vergelijking genoemd. De getallen a, b en c zijn bekende getallen, de zogenaamde coëfficiënten van de vergelijking; kunnen worden onderscheiden door ze respectievelijk te noemen: kwadratische coëfficiënt, eerste-orde coëfficiënt en vrije of constante coëfficiënt.

Een kwadratische vergelijking is een type polynoomvergelijking die uitsluitend machten van x bevat, die natuurlijke getallen zijn.

Het oplossen van een kwadratische vergelijking houdt in dat de waarden van x zodanig worden bepaald dat wanneer x in vergelijking (1) wordt gesubstitueerd, ax2+bx+c=0 wordt voldaan. Er zijn vier gebruikelijke manieren om kwadratische vergelijkingen op te lossen: factorisatie; vierkantswortelmethode; gebruik de wortelformule; grafiek.

B. Los kwadratische vergelijkingen op

Stap 1: Bereken Δ=b2-4ac

Stap 2: Vergelijk Δ met 0

• Δ < 0=""> Vergelijking (1) heeft geen oplossing
• Δ = 0 => vergelijking (1) heeft een dubbele oplossing
• Δ > 0 => vergelijking (1) heeft 2 verschillende oplossingen, we gebruiken de volgende oplossingsformule :

En

C. Kwikvergelijkingen mentaal oplossen

• Als de vergelijking a + b + c = 0 heeft , dan heeft de vergelijking een oplossing.
• Als de vergelijking a - b + c = 0 heeft, dan heeft de vergelijking de oplossing:

D. De Viet-et-formule gebruiken

Stelling van Vieta

Als de oplossing van de vergelijking is, dan

De omgekeerde stelling van Viet-et

Als er twee getallen bestaan, dan zijn ze oplossingen van de vergelijking , (bestaat wanneer)

E. Voorbeeld van het oplossen van een kwadratische vergelijking

Voorbeeld 1: Los de volgende kwadratische vergelijking op: x2 - 49x - 50 = 0

Oplossingsgids

Methode 1: Gebruik de wortelformule (a = 1; b = -49; c = -50)

Omdat ∆ > 0, heeft de vergelijking twee verschillende oplossingen.

Methode 2: Hoofdrekenen

Omdat a – b + c = -1 – (-49) + (-50) = 0

De vergelijking heeft dus twee oplossingen.

Methode 3:

Volgens de stelling van Viet geldt:

De vergelijking heeft dus twee oplossingen:

Voorbeeld 2: Los de vergelijking 4x2 - 2x - 6 = 0 (2) op

Δ=(-2)2 - 4.4.(-6) = 4 + 96 = 100 > 0 => de gegeven vergelijking (2) heeft 2 verschillende oplossingen.

En

Je kunt de oplossing ook snel uit je hoofd berekenen, want zoals je ziet geldt 4-(-2)+6=0, dus x1 = -1, x2 = -c/a = -(-6)/4=3/2. De oplossing is dezelfde als hierboven.

Voorbeeld 3: Los de vergelijking 2x2 - 7x + 3 = 0 (3) op

Bereken Δ = (-7)2 - 4.2.3 = 49 - 24 = 25 > 0 => (3) heeft 2 verschillende oplossingen:

En

U kunt heel eenvoudig controleren of u de oplossing correct hebt berekend. Vervang x1 en x2 achtereenvolgens in vergelijking 3. Als de uitkomst 0 is, dan is het correct. Vervang bijvoorbeeld x1, 2,32-7,3+3=0.

Voorbeeld 4: Los de vergelijking 3x2 + 2x + 5 = 0 (4) op

Bereken Δ = 22 - 4.3.5 = -56 < 0=""> vergelijking (4) heeft geen oplossing.

Voorbeeld 5: Los de vergelijking x2 – 4x +4 = 0 (5) op

Bereken Δ = (-4)2 - 4.4.1 = 0 => vergelijking (5) heeft een dubbele oplossing:

Als je snel van begrip bent, kun je ook zien dat dit de memorabele identiteit is (ab)2 = a2 - 2ab + b2, dus is het eenvoudig om (5) te herschrijven als (x - 2)2 = 0 <=> x=2.

F. Factoren van polynomen

Als vergelijking (1) twee verschillende oplossingen x1 en x2 heeft, kun je deze altijd in de volgende vorm schrijven: ax2 + bx + c = a(x-x1)(x-x2) = 0.

Terugkerend naar vergelijking (2), nadat je 2 oplossingen x1, x2 hebt gevonden, kun je deze in de vorm schrijven: 4(x-3/2)(x+1)=0.

G. Oplossen van kwadratische vergelijkingen met parameters

1. Vergelijking met oplossing

2. Vergelijking zonder oplossing

3. De vergelijking heeft een unieke oplossing (dubbele oplossing of twee gelijke oplossingen)

4. De vergelijking heeft twee verschillende oplossingen.

5. De vergelijking heeft twee oplossingen met hetzelfde teken.

6. De vergelijking heeft twee oplossingen met tegengestelde tekens.

7. De vergelijking heeft twee positieve wortels (twee wortels groter dan 0)

8. De vergelijking heeft twee negatieve wortels (twee wortels kleiner dan 0)

9. De vergelijking heeft twee tegengestelde oplossingen.

10. Twee omgekeerde oplossingen

Dingen om te onthouden:

Naast de kwadratische vergelijking is er ook de stelling van Viet met vele toepassingen, zoals het mentaal berekenen van de wortels van de hierboven genoemde kwadratische vergelijking, het vinden van 2 getallen als je de som en het product kent, het bepalen van de tekens van de wortels en het ontbinden in factoren. Dit is allemaal noodzakelijke kennis die je nodig zult hebben als je algebra leert, of als je later oefeningen doet met het oplossen en bespreken van kwadratische vergelijkingen. Je moet het dus goed onthouden en vloeiend oefenen.

Als je programmeren wilt studeren , heb je ook basiskennis van wiskunde nodig, of zelfs gevorderde kennis van wiskunde, afhankelijk van het project dat je gaat doen.