Wat is een even functie? Wat is een oneven functie?

Wat is een even functie ? Niet alleen even functies , ook oneven functies zijn van groot belang. Laten we samen meer over deze twee concepten leren!

Functies in de wiskunde kunnen worden ingedeeld in even en oneven functies op basis van hun symmetrie langs de as. Een even functie is een functie die constant blijft wanneer de invoer negatief is (de uitvoer is hetzelfde voor x en -x), wat symmetrie rond de y-as weerspiegelt. Daarentegen wordt een oneven functie negatief wanneer de invoer ervan wordt genegeerd, waarbij er symmetrie rond de oorsprong ontstaat. Een functie f is even als f(-x) = f(x), voor alle x in het domein van f. Een functie f is een oneven functie als f(-x) = -f(x) voor alle x in het domein van f, dat wil zeggen:

• Zelfs functie:f(-x) = f(x)
• Oneven functie:f(-x) = -f(x)

In dit artikel bespreken we gedetailleerd even en oneven functies, de definitie van even en oneven functies, even en oneven functies in de trigonometrie, grafieken van even en oneven functies en vele andere inhoud en informatie die u moet weten.

Inhoudsopgave

• Wat is een even functie?
• Wat is een oneven functie?
• Grafiek van even en oneven functies
• Wat is een functie die noch even, noch oneven is?
• Onthoud een veelvoorkomende oneven-even functie
• Hoe bepaal je even en oneven functies?
• Oefeningen over het onderzoeken van de pariteit van functies

Wat is een even functie?

De functie y = f(x) met domein D wordt een even functie genoemd als deze aan de volgende twee voorwaarden voldoet:

• ∀ x ∈ D ⇒ − x ∈ D
• ∀ x ∈ D : f ( − x ) = f ( x )

Bijvoorbeeld: De functie y = x² is een even functie.

Wat is een oneven functie?

De functie y = f ( x ) met domein D wordt een oneven functie genoemd als deze aan de volgende twee voorwaarden voldoet:

• ∀ x ∈ D ⇒ − x ∈ D
• ∀ x ∈ D : f (−x) = − f(x)

Voorbeeld: Voorbeeld: De functie y = x is een oneven functie.

Aandacht. De eerste voorwaarde wordt de domeinsymmetrische voorwaarde rond 0 genoemd.

D = (-2;2) is bijvoorbeeld een verzameling die symmetrisch is rond 0, terwijl de verzameling D' = [-2;3] niet symmetrisch is rond 0.

De verzameling R = (−∞;+∞) is een symmetrische verzameling.

Let op: een functie hoeft niet even of oneven te zijn.

Bijvoorbeeld: De functie y = 2x + 1 is noch een even, noch een oneven functie omdat:

Bij x = 1 hebben we f(1) = 2,1 + 1 = 3

Bij x = -1 geldt f(-1) = 2.(-1) + 1 = -1

→ De twee waarden f(1) en f(-1) zijn noch gelijk, noch tegengesteld.

Grafiek van even en oneven functies

Zelfs functies hebben grafieken waarbij de y-as de symmetrieas is.

De oneven functie heeft een grafiek met oorsprong O als symmetriecentrum.

Wat is een functie die noch even, noch oneven is?

Niet elke functie kan als even of oneven worden gedefinieerd. Sommige functies zijn noch even noch oneven functies, zoals: y=x²+x, y=tan(x-1),…

Daarnaast is er een speciaal type functie dat zowel even als oneven is. Bijvoorbeeld de functie y=0

Onthoud een veelvoorkomende oneven-even functie

Zelfs functie

y = ax2 + bx + c als en alleen als b = 0

Kwadratische functie

y = cosx

y = f(x)

Oneven functie

y = ax + b als en alleen als b = 0

y = ax3 + bx2 + cx + d als en alleen als b = d = 0

y = sinx; y = tanx; y = cotx

Enkele andere gevallen

F(x) is een even functie en heeft een afgeleide in zijn domein, dan is de afgeleide een oneven functie.

F(x) is een oneven functie en heeft een afgeleide in zijn domein, dan is de afgeleide een even functie.

Een polynoomfunctie van oneven graden is geen even functie.

Polynoomfuncties van even graden zijn geen oneven functies.

Hoe bepaal je even en oneven functies?

Om de oneven-even functie te bepalen, voeren we de volgende stappen uit:

Stap 1: Zoek het domein: D

Als ∀x ∈ D ⇒ -x ∈ D Ga naar stap drie

Als ∃ x0 ∈ D ⇒ -x0 ∉ D, dan is de functie noch even noch oneven.

Stap 2: Vervang x door -x en bereken f(-x)

Stap 3: Onderzoek het teken (vergelijk f(x) en f(-x)):

° Als f(-x) = f(x) dan is de functie f even

° Als f(-x) = -f(x) dan is de functie f oneven

° Andere gevallen: functie f heeft geen pariteit

Oefeningen over het onderzoeken van de pariteit van functies

Les 4 pagina 39 Algebra 10 Leerboek: Beschouw de oneven-even eigenschappen van de volgende functies:

a) y = |x|;

b) y = (x + 2)2;

c) y = x3 + x;

d) y = x2 + x + 1.

Prijs

a) Zij y = f(x) = |x|.

° TXĐ: D = R dus voor ∀x ∈ D geldt –x ∈ D.

° f(–x) = |–x| = |x| = f(x).

→ Dus de functie y = |x| is een even functie.

b) Zij y = f(x) = (x + 2)2.

° TXĐ: D = R dus voor ∀x ∈ D geldt –x ∈ D.

° f(–x) = (–x + 2)2 = (x – 2)2 ≠ (x + 2)2 = f(x)

° f(–x) = (–x + 2)2 = (x – 2)2 ≠ – (x + 2)2 = –f(x).

→ De functie y = (x + 2)2 is dus noch even noch oneven.

c) Zij y = f(x) = x3 + x.

° TXĐ: D = R dus voor ∀x ∈ D geldt –x ∈ D.

° f(–x) = (–x)3 + (–x) = –x3 – x = – (x3 + x) = –f(x)

→ Dus y = x3 + x is een oneven functie.

d) Zij y = f(x) = x2 + x + 1.

° TXĐ: D = R dus voor ∀x ∈ D geldt –x ∈ D.

° f(–x) = (–x)2 + (–x) + 1 = x2 – x + 1 ≠ x2 + x + 1 = f(x)

° f(–x) = (–x)2 + (–x) + 1 = x2 – x + 1 ≠ –(x2 + x + 1) = –f(x)

→ De functie y = x2 + x + 1 is dus noch even, noch oneven.

Bestaat er een functie in R die zowel een even als een oneven functie is?

Prijs:

Het is gemakkelijk in te zien dat de functie y = 0 een functie is die gedefinieerd is op R, zowel een even als een oneven functie.

Veronderstel dat de functie y = f(x) een willekeurige functie is met zulke eigenschappen. Voor elke x in R geldt dan:

F (–x) = f (x) (omdat f een even functie is);

F (–x) = – f (x) (omdat f een oneven functie is).

Hieruit kunnen we afleiden dat voor elke x in R, f(x)=−f(x), wat betekent dat f(x)=0. Dus y=0 is de enige functie die in R is gedefinieerd, en die zowel even als oneven is.

Veelgestelde vragen over even en oneven functies

Wat zijn even en oneven functies?

Als f(x) = f(−x) voor alle x in hun domeinen, dan zijn zelfs functies symmetrisch ten opzichte van de y-as. Oneven functies zijn symmetrisch ten opzichte van de oorsprong. Dat betekent dat voor alle x in hun domein geldt: f(−x) = −f(x).

Hoe weet je of een functie even of oneven is?

Een functie is even als f(-x) = f(x) en oneven als f(-x) = -f(x) voor alle elementen in het domein van f. Als het niet aan een van deze eigenschappen voldoet, is het noch oneven, noch even.

Wat is het verschil tussen oneven en even periodieke functies?

Verschil tussen oneven en even periodieke functies: een even functie voldoet aan f(−x) = f(x) voor alle x in het domein, terwijl een oneven functie voldoet aan f(−x) = −f(x).

Naast even en oneven functies kunt u in de sectie Onderwijs op Quantrimang.com nog andere belangrijke wiskundige kennis opdoen, zoals kwadratische getallen , irrationele getallen, rationale getallen , priemgetallen , natuurlijke getallen ...